UBND XÃ KRÔNG NÔ
TRƯỜNG THCS TÂN THÀNH
MÃ ĐỀ MT103

ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ 2
MÔN: TOÁN – LỚP 9
NĂM HỌC: 2025 - 2026
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

A. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)
Viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng duy nhất vào bảng trả lời
Câu 1. Cho hàm số
. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến.
B. Hàm số luôn đồng biến.
C. Giá trị của hàm số luôn âm.

Câu 2. Cho parabol
parabol

D. Hàm số nghịch biến khi

và đường thẳng

và đồng biến khi

. Tọa độ giao điểm của đường thẳng

và

là

A.
.
B.
.
C.
.
Câu 3. Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn?
A.

D.

B.

C.
Câu 4. Hai số
dưới đây?

.
D.
có tổng và tích lần lượt là 32 và 231. Khi đó

.

.
và

.
là nghiệm của phương trình nào

A.
B.
C.
D.
Câu 5. Cỡ mẫu là
A. số giá trị của mẫu dữ liệu.
B. dãy dữ liệu.
C. số lần xuất hiện một giá trị trong mẫu dữ liệu.
D. số lần xuất hiện một số giá trị trong mẫu dữ liệu.
Câu 6. Bảng phân bố tần số sau đây ghi lại số vé không bán được trong 62 buổi chiếu phim:
Lớp
Tần số
3
8
15
18
Hỏi có bao nhiêu buổi chiếu phim có nhiều nhất 19 vé không bán được?
A. 42.
B. 43.
C. 44.
Câu 7. Biểu đồ hình quạt tròn bên biểu diễn tỉ lệ người
thuộc các nhóm máu ở Việt Nam. Hỏi số người thuộc
nhóm máu nào ở Việt Nam chiếm tỉ lệ nhiều nhất?
A. Nhóm máu

.

B. Nhóm máu
C. Nhóm máu

.

12

6

D. 45.

D. Nhóm máu
Câu 8. Một túi đựng 4 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số 1; 2; 3; 4. Lấy ngẫu nhiên
hai viên bi từ trong túi. Số khả năng xảy ra của biến cố A là
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Câu 9. Góc nội tiếp là
A. góc có đỉnh thuộc đường tròn và hai cạnh là tiếp tuyến của đường tròn đó.

B. góc có đỉnh nằm trong đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
C. góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và hai cạnh là tiếp tuyến của đường tròn đó.
D. góc có đỉnh thuộc đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
Câu 10. Đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh có bán kính là
A.
.
B.
Câu 11. Cho các hình vẽ sau:

.

C.

.

D.

Trong các hình trên, hình nào đang nội tiếp đường tròn?
A. Hình 1.
B. Hình 2.
C. Hình 3.
Câu 12. Một lục giác đều và một ngũ giác đều chung cạnh
(như hình vẽ). Số đo góc

.

D. Hình 4.

là

A.
B.
C.
D.
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai (2,0 điểm)
Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d) rồi điền vào bảng trả lời.
Câu 13. Cho phương trình
a) Phương trình đã cho có hệ số
b) Tổng các hệ số
là 0.
c) Phương trình đã cho có hai nghiệm đều dương.
d) Tích hai nghiệm của phương trình đã cho là 1.
Câu 14. Một quầy hàng A đựng bắp rang bơ vào một loại hộp có dạng hình nón với
kích thước như hình vẽ.
Quầy hàng B đựng bắp rang bơ vào một loại hộp có dạng hình trụ có đáy và chiều
cao bằng với loại hộp hình nón mà quầy A đã dùng. Biết giá 1 hộp bắp rang bơ của
quầy A và quầy B bán lần lượt là

đồng và

a) Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy

đồng.
và đường sinh

được

tính bằng công thức:
b) Độ dài đường sinh của hình nón là
c) Diện tích xung quanh của hộp hình trụ đựng bắp rang bơ là
d) Bạn An nên mua bắp rang bơ ở quầy B để có lợi hơn.
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm)
Hãy viết câu trả lời/ đáp án vào bảng trả lời mà không cần trình bày lời giải chi tiết.
Câu 15. Một ô tô khách và một ô tô tải chở vật liệu xây dựng khởi hành cùng một lúc từ bến xe khách Lai
Châu đến trung tâm thị trấn Mường Tè. Do trọng tải lớn nên xe tải chở vật liệu xây dựng đi với vận tốc chậm

hơn xe khách

Xe khách đến trung tâm thị trấn Mường Tè sớm hơn xe tải 1 giờ 6 phút. Biết quãng

đường từ bến xe khách thành phố Lai Châu đến trung tâm thị trấn Mường Tè là
tải (theo đơn vị

Tính vận tốc của xe

.

Câu 16. Một hộp chứa 4 tấm thẻ cùng loại được đánh số 1; 4; 7; 9. Bạn Khuê và bạn Hương lần lượt mỗi
người lấy ra 1 tấm thẻ từ hộp. Tính xác suất của biến cố
“Số ghi trên tấm thẻ của bạn Khuê nhỏ hơn số
ghi trên tấm thẻ của bạn Hương” (viết kết quả dưới dạng số thập phân).
Câu 17. Một trang trại nuôi gia súc có dạng hình tam giác đều cạnh
150 m (như hình vẽ). Người ta muốn đặt một trụ đèn cao áp tại một
điểm cách đều ba đỉnh của tam giác đều. Tính khoảng cách từ điểm đó
đến ba đỉnh của tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 18. Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ

,

lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là

xếp chồng lên nhau, lần
,

,

,

thỏa mãn

,

(tham khảo hình vẽ). Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng
Tính thể tích khối trụ

.

B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Bài 1. (1,5 điểm)
1. Bạn Hoa được cô yêu cầu ghi lại thời gian chạy 1000 m của các bạn trong lớp (đơn vị: giây):

a) Để thu gọn bảng dữ liệu trên thì nên chọn bảng tần số không ghép nhóm hay tần số ghép nhóm để biểu
thị dữ liệu? Tại sao?
b) Hãy chia số liệu làm 4 nhóm trong đó nhóm đầu tiên là
tương đối ghép nhóm (làm tròn đến hàng đơn vị).
2. Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số nhỏ hơn 100.
Tính xác suất của mỗi biến cố

với

tại

tại

a) Chứng minh tứ giác

đường kính

Trên cung nhỏ

Đường thẳng

; lập bảng tần số và tần số

“Số tự nhiên được viết ra là số tròn chục”.

Bài 2. (1,5 điểm) Cho đường tròn
vuông góc với

đến dưới

cắt

lấy điểm

Gọi

là điểm nằm giữa

bất kỳ

khác

tại

là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh
song song với
và tam giác
là tam giác cân.
c) Tìm vị trí của điểm
để diện tích tam giác
lớn nhất.
-----HẾT-----

và

và
Kẻ

Kẻ dây
vuông góc

TRƯỜNG THCS TÂN THÀNH
Họ và tên:............................................
Lớp : ...................................................

Chữ ký Giám thị

KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2025 – 2026
Môn : Toán
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Điểm bài thi

Chữ ký Giám khảo

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM
1. Trắc nghiệm 4 lựa chọn (3 điểm) Điền chữ cái trước đáp án được chọn vào ô tương ứng
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Đáp
án
2. Trắc nghiệm đúng sai (2 điểm) Điền Đ (đúng) hoặc S (sai) vào ô tương ứng với ý trong câu hỏi
Câu
Câu 13
Câu 14
Ý
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Đ-S
3. Trả lời ngắn (2 điểm) Điền câu trả lời vào dấu (…)
Câu 15
Câu 16
B. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)

Câu 17

Câu 18

ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 103
KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ 2 – TOÁN 9
A. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Bảng đáp án trắc nghiệm:
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
Đáp án
D
A
B
C
A
D
A
B
Câu
13a 13b 13c 13d 14a 14b 14c 14d
Đáp án
S
Đ
Đ
S
S
Đ
S
Đ
Hướng dẫn giải chi tiết
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

9
D
15
30

10
C
16
0,5

11
A
17
86,6

12
D
18
20

Câu 1. Cho hàm số
. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến.
B. Hàm số luôn đồng biến.
C. Giá trị của hàm số luôn âm.
D. Hàm số nghịch biến khi
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số

và đồng biến khi

nghịch biến khi

Câu 2. Cho parabol
parabol

và đồng biến khi

và đường thẳng

.
. Tọa độ giao điểm của đường thẳng

là

A.
.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A

B.

.

Hoành giao điểm của đường thẳng

Thay

.

vào

ta được

C.

và Parabol

.

.

D.

.

là nghiệm của phương trình

và

Tọa độ giao điểm của đường thẳng
và parabol
là:
.
Câu 3. Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn?
A.

.

B.

C.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B

.

D.

.
.

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng
cho trước gọi là hệ số và

trong đó

là ẩn;

là những số

.

Do đó, phương trình
là phương trình bậc hai một ẩn.
Câu 4. Hai số
có tổng và tích lần lượt là 32 và 231. Khi đó
và là nghiệm của phương trình nào
dưới đây?
A.

B.

C.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C

D.

Vì
nên và là nghiệm của phương trình
Câu 5. Cỡ mẫu là
A. số giá trị của mẫu dữ liệu.
B. dãy dữ liệu.
C. số lần xuất hiện một giá trị trong mẫu dữ liệu.
D. số lần xuất hiện một số giá trị trong mẫu dữ liệu.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Số giá trị của mẫu dữ liệu được gọi là cỡ mẫu.
Do đó ta chọn phương án A.
Câu 6. Bảng phân bố tần số sau đây ghi lại số vé không bán được trong 62 buổi chiếu phim:
Lớp
Tần số

3

8

15

18

12

Hỏi có bao nhiêu buổi chiếu phim có nhiều nhất 19 vé không bán được?
A. 42.
B. 43.
C. 44.
D. 45.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Tổng số buổi có nhiều nhất 19 vé không bán được là
Vậy có 44 buổi chiếu phim có nhiều nhất 19 vé không bán được.
Câu 7. Biểu đồ hình quạt tròn bên biểu diễn tỉ
lệ người thuộc các nhóm máu ở Việt Nam. Hỏi
số người thuộc nhóm máu nào ở Việt Nam
chiếm tỉ lệ nhiều nhất?
A. Nhóm máu

.

B. Nhóm máu

C. Nhóm máu

.

D. Nhóm máu

.

(buổi).

6

Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có
nên nhóm máu
có tỉ lệ nhiều nhất ở Việt Nam.
Câu 8. Một túi đựng 4 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số 1; 2; 3; 4. Lấy ngẫu nhiên
hai viên bi từ trong túi. Số khả năng xảy ra của biến cố A là
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Không gian mẫu là
Gọi A là biến cố “tích hai số ghi trên hai viên bi lớn hơn 3”.

.

Có 4 khả năng xảy ra biến cố A là
.
Câu 9. Góc nội tiếp là
A. góc có đỉnh thuộc đường tròn và hai cạnh là tiếp tuyến của đường tròn đó.
B. góc có đỉnh nằm trong đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
C. góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và hai cạnh là tiếp tuyến của đường tròn đó.
D. góc có đỉnh thuộc đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Góc nội tiếp là góc có đỉnh thuộc đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.
Câu 10. Đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh có bán kính là
A.
.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gọi

B.

.

là tâm của hình vuông

Gọi

C.

.

D.

.

.

lần lượt là trung điểm của

Khi đó ta có
nội tiếp hình vuông

hay

là tâm đường tròn

.

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông là
Câu 11. Cho các hình vẽ sau:

.

Trong các hình trên, hình nào đang nội tiếp đường tròn?
A. Hình 1.
B. Hình 2.
C. Hình 3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A

D. Hình 4.

Ta thấy trên hình 1, các điểm
đều nằm trên đường tròn
tứ giác nội tiếp.
Câu 12. Một lục giác đều và một ngũ giác đều chung
cạnh
A.

(như hình vẽ). Số đo góc
.

C.
.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D

B.

.

D.

.

nên tứ giác

là

Theo công thức tính góc của đa giác đều, ta có:
.
Tam giác

cân tại

nên

Tương tự, ta tính được

.
.

Vậy
.
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai (2,0 điểm)
Câu 13. Cho phương trình
a) Phương trình đã cho có hệ số
b) Tổng các hệ số
là 0.
c) Phương trình đã cho có hai nghiệm đều dương.
d) Tích hai nghiệm của phương trình đã cho là 1.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Sai.
b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
Xét phương trình
⦁ Phương trình đã cho có hệ số
⦁ Tổng các hệ số

là

Do đó ý a) là sai.
Do đó ý b) là đúng.

⦁ Ta có
nên phương trình có hai nghiệm
Khi đó, cả hai nghiệm của phương trình đã cho đều dương. Do đó ý c) là đúng.
⦁ Phương trình có hai nghiệm
Do đó, tích hai nghiệm của phương trình đã cho là
. Do đó ý d) là sai.
Câu 14. Một quầy hàng A đựng bắp rang bơ vào một loại hộp có dạng hình
nón với kích thước như hình vẽ.
Quầy hàng B đựng bắp rang bơ vào một loại hộp có dạng hình trụ có đáy và
chiều cao bằng với loại hộp hình nón mà quầy A đã dùng. Biết giá 1 hộp bắp
rang bơ của quầy A và quầy B bán lần lượt là

đồng và

a) Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy
được tính bằng công thức:

đồng.

và đường sinh

trên hình 1 là

b) Độ dài đường sinh là
c) Diện tích xung quanh của hộp đựng bắp rang bơ là
d) Bạn An nên mua bắp rang bơ ở quầy B để có lợi hơn.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Sai.

b) Đúng.

c) Sai.

⦁ Thể tích hình nón có bán kính đáy
Do đó ý a) là sai.

d) Đúng.

và đường sinh

⦁ Độ dài đường sinh là

được tính bằng công thức:

Do đó ý b) là đúng.

⦁ Diện tích xung quanh của hộp đựng bắp rang bơ là:
Do đó ý c) là sai.
⦁ Diện tích xung quanh hình trụ là:
Ta thấy diện tích xung quanh hình trụ lớn hơn diện tích xung quanh hình nón.
Mặt khác giá 1 hộp bắp rang bơ của quầy A và quầy B bán lần lượt là
đồng và
đồng.
Do đó, bạn An nên mua bắp rang bơ ở quầy B để có lợi hơn.
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm)
Câu 15. Một ô tô khách và một ô tô tải chở vật liệu xây dựng khởi hành cùng một lúc từ bến xe khách Lai
Châu đến trung tâm thị trấn Mường Tè. Do trọng tải lớn nên xe tải chở vật liệu xây dựng đi với vận tốc chậm
hơn xe khách

Xe khách đến trung tâm thị trấn Mường Tè sớm hơn xe tải 1 giờ 6 phút. Biết quãng

đường từ bến xe khách thành phố Lai Châu đến trung tâm thị trấn Mường Tè là
tải (theo đơn vị
Hướng dẫn giải
Đáp số: 30.

Tính vận tốc của xe

.

Gọi vận tốc của xe tải là
Khi đó, vận tốc của xe khách là
Thời gian đi hết quãng đường của xe tải là

(giờ) và của xe khách là

Đổi 1 giờ 6 phút
giờ.
Vì xe khách đi nhanh hơn xe tải 1 giờ 6 phút nên ta có phương trình:

(TMĐK) hoặc
Vậy vận tốc của xe tải là

(loại).

(giờ).

Câu 16. Một hộp chứa 4 tấm thẻ cùng loại được đánh số 1; 4; 7; 9. Bạn Khuê và bạn Hương lần lượt mỗi
người lấy ra 1 tấm thẻ từ hộp. Tính xác suất của biến cố
“Số ghi trên tấm thẻ của bạn Khuê nhỏ hơn số
ghi trên tấm thẻ của bạn Hương” (viết kết quả dưới dạng số thập phân).
Hướng dẫn giải
Đáp số:
.
Không gian mẫu của phép thử là:
.
Tập  có 12 phần tử.
Vì bạn Khuê và Hương lần lượt mỗi người lấy ra ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp nên các kết quả có thể trên
là đồng khả năng.
Xét biến cố

“Số ghi trên tấm thẻ của bạn Khuê nhỏ hơn số ghi trên tấm thẻ của bạn Hương”.

Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố A là

.

Vậy xác suất của biến cố
là:
Câu 17. Một trang trại nuôi gia súc có dạng hình tam giác đều
cạnh 150 m (như hình vẽ). Người ta muốn đặt một trụ đèn cao áp
tại một điểm cách đều ba đỉnh của tam giác đều. Tính khoảng cách
từ điểm đó đến ba đỉnh của tam giác (làm tròn kết quả đến hàng
phần mười).
Hướng dẫn giải
Đáp số: 86,6.
Gọi
là vị trí cần đặt đèn. Gọi
đều (như hình vẽ).
Vì

cách đều ba đỉnh

là ba đỉnh của tam giác
của tam giác đều

nên

là

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Suy ra khoảng cách từ vị trí

đến mỗi vị trí

là bán kính

của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
Do đó
Vậy khoảng cách từ vị trí đặt đèn

đến ba đỉnh của tam giác đều

Câu 18. Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ

,

lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là
,
chơi bằng

xếp chồng lên nhau,
,

,

,

thỏa mãn

(tham khảo hình vẽ). Biết rằng thể tích của toàn bộ khối đồ
Tính thể tích khối trụ

Hướng dẫn giải
Đáp số: 20.
Thể tích khối

bằng khoảng

là

.

.

Thể tích khối

là

Mà

nên

Do đó

hay

.
.

Vậy thể tích của khối
là
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Bài 1. (1,5 điểm)
1. Bạn Hoa được cô yêu cầu ghi lại thời gian chạy 1000 m của các bạn trong lớp (đơn vị: giây):

a) Để thu gọn bảng dữ liệu trên thì nên chọn bảng tần số không ghép nhóm hay tần số ghép nhóm để biểu
thị dữ liệu? Tại sao?
b) Hãy chia số liệu làm 4 nhóm trong đó nhóm đầu tiên là
tương đối ghép nhóm (làm tròn đến hàng đơn vị).
2. Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có hai chữ số nhỏ hơn 100.

đến dưới

; lập bảng tần số và tần số

Tính xác suất của mỗi biến cố
“Số tự nhiên được viết ra là số tròn chục”.
Hướng dẫn giải
1. a) Để thu gọn bảng dữ liệu trên thì nên chọn bảng tần số ghép nhóm để biểu thị dữ liệu. Vì vì số liệu đang
ở dạng ở số thực và có phân bố không đều nhau.
b) Hãy chia số liệu làm 4 nhóm trong đó nhóm đầu tiên là
tương đối ghép nhóm (làm tròn đến hàng đơn vị).
Ta có bảng tần số ghép nhóm như sau:
Nhóm

đến dưới

; lập bảng tần số và tần số

Số học sinh
Tổng số học sinh trong lớp là
Tỉ lệ thời gian học sinh chạy

.
từ

đến dưới

là

;

từ

đến dưới

là

;

từ

đến dưới

là

;

từ

đến dưới

là:
.

Ta có bảng tần số tương đối ghép nhóm như sau:
Nhóm
Số học sinh
2. Tập hợp
Số phần tử của tập hợp

là

.

Xét biến cố

“Số tự nhiên được viết ra là số tròn chục”.
.

Khi đó, số phần tử của tập hợp
Xác suất của biến cố

là

.

là

.

Bài 2. (1,5 điểm) Cho đường tròn
vuông góc với
với

tại

tại

đường kính

Trên cung nhỏ

Đường thẳng

cắt

a) Chứng minh tứ giác

Gọi

lấy điểm

là điểm nằm giữa

bất kỳ

khác

và

và

Kẻ dây

Kẻ

vuông góc

tại

là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh
song song với
và tam giác
là tam giác cân.
c) Tìm vị trí của điểm
để diện tích tam giác
lớn nhất.
Hướng dẫn giải
a) Vì
Gọi

nên

Vì

là trung điểm
có

tại

nên

.

là trung tuyến ứng với cạnh huyền

có

nên

là trung tuyến ứng với cạnh huyền

nên

Do đó
Vậy bốn điểm

cùng nằm trên cùng một đường tròn tâm

b) Vì

là tứ giác nội tiếp nên

Lại có

nội tiếp nên

Từ đó suy ra
Do
Suy ra

(góc nội tiếp cùng chắn cung
(đpcm).

là trung điểm

(quan hệ vuông góc của đường kính

là đường trung bình của tam giác

Tam giác

có

Do đó tam giác
c) Tam giác

nên

là trung điểm

là đường cao đồng thời cũng là trung tuyến.
là tam giác cân tại
cân tại

Dễ thấy tam giác
Từ đó suy ra
Ta có
Do
không đổi nên
Trong tam giác vuông

nội tiếp.

(góc nội tiếp cùng chắn cung
nên

, mà

hay tứ giác

(đpcm).

nên

cân tại
nên
hay tam giác

.
cân tại

, hạ

.
lớn nhất khi và chỉ khi
ta có:

lớn nhất.

.

với dây
.

tại

hay
Dấu

xảy ra khi và chỉ khi
hay

Vậy để diện tích tam giác

.

, khi đó

nên tam giác

là điểm chính giữa cung
lớn nhất thì

là điểm chính giữa cung
-----HẾT-----

vuông cân tại

, suy ra