TRƯỜNG THCS THẠCH THẤT

ĐỀ KSCL HỌC SINH KHỐI 9

Họ tên HS: …………………..........

MÔN: TOÁN – THỜI GIAN: 120 phút

Lớp: ………….

Ngày thi: 5/3/2026
(Đề bài có 02 trang)

Bài 1: (1,5 điểm)
1) Một cửa hàng sách thống kê số tiền (đơn vị: nghìn đồng) mà 60 khách hàng mua sách ở cửa
hàng đó trong một ngày. Số liệu được ghi lại trong biểu đồ tần số ghép nhóm ở hình dưới đây.

a) Lập bảng tần số ghép nhóm từ biểu đồ trên.
b) Tìm tần số tương đối ghép nhóm của nhóm 80;90  .
2) Hình vẽ bên mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm
mười hai phần bằng nhau và ghi các số 1; 2; 3; …; 12; chiếc kim
được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa. Quay đĩa tròn
một lần.
a) Viết tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với số ghi ở hình
quạt mà chiếc kim chỉ vào khi đĩa dừng lại.
b) Tính xác suất của biến cố A: “Chiếc kim chỉ vào hình quạt
ghi số chia hết cho 3”.
Bài 2: (1,5 điểm)
Cho hai biểu thức A 

2025
; B
x 8

x
x  21
1


x 9
x 3
x 3

( x  0, x  9)

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  289 .
b) Chứng minh B 

x 8
.
x 3

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  A.B .
Bài 3: (2,5 điểm)
1) Hai tổ sản xuất phải dệt 140 áo len. Trong thực tế tổ một đã vượt mức 10% kế hoạch của
mình, tổ hai vượt mức 5% kế hoạch của mình nên cả hai tổ đã dệt được 150 áo len. Hỏi theo kế
hoạch thì mỗi tổ phải dệt bao nhiêu áo len?

2) Một ô tô và một xe máy ở hai địa điểm A và B cách nhau 200 km đi ngược chiều nhau, xe
máy khởi hành trước ô tô 30 phút và hai xe gặp nhau khi xe máy đi được 2,5 giờ. Biết vận tốc
của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 10 km/h. Tính vận tốc của mỗi xe?
3) Giải phương trình 8  4 x  2  x  18  18  9 x
Bài 4: (4 điểm)
1) Một máy bay bay từ A đến B với quỹ đạo
như trong hình 1. Biết rằng hai điểm A và B cùng
nằm trên một đường tròn tâm O có bán kính
R=195km và quãng đường AB theo quỹ đạo trên
dài 510km.
a) Giả sử thời gian máy bay bay từ A tới B là
36 phút. Tính vận tốc trung bình của máy bay
(đơn vị km/h).
b) Tính số đo góc AOB (lấy   3,14 , kết quả
làm tròn đến hàng đơn vị của độ)

Hình 1

2) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp
điểm). Kẻ đường kính AC của (O). Đoạn thẳng MC cắt AB tại K và cắt (O) tại điểm thứ hai là D.
Gọi I, H lần lượt là các giao điểm của MO với BD, AB.
a) Chứng minh bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh MO // BC và IM 2  ID  IB .
c) Gọi L là giao điểm của IK và HC. Chứng minh ba điểm M, B, L thẳng hàng.
Bài 5: (0,5 điểm)
Một cửa hàng bán giày thể thao đang bán mỗi đôi giày với giá 1 500 000 đồng, bán được 100 đôi
giày mỗi tháng. Chủ cửa hàng bằng kinh nghiệm và khảo sát thị trường nhận thấy cứ mỗi lần giảm
giá 10 000 đồng trên mỗi đôi, thì số lượng bán ra tăng thêm 5 đôi mỗi tháng. Tuy nhiên, do hạn chế
nguồn hàng, số lượng bán ra tối đa mỗi tháng không vượt quá 140 đôi. Biết rằng chi phí nhập mỗi
đôi giày là 1 100 000 đồng và các chi phí khác không đổi. Hỏi cửa hàng nên bán mỗi đôi giày với
giá bao nhiêu tiền để đạt lợi nhuận lớn nhất ?
------ Hết ------

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KSCL HỌC SINH KHỐI 9
MÔN: TOÁN – Ngày thi: 5/3/2026
Bài
1

Ý
1)

Đáp án hoặc hướng dẫn giải
a) Bảng tần số ghép nhóm:
 40;50  50;60 
Nhóm
Tần số
3
6

60;70 
19

 70;80  80;90 
23

b) Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [80;90) là:
2)

2

Điểm

9

x
x  21
1


x 9
x 3
x 3

2025
; B
x 8

9.100
%  15%
60

Thay x  289 (tm đk) vào biểu thức A , tính được A  81

b

Với x  0, x  9 ta có:



x ( x  3)  x  21  x  3
( x  3)



x 3





0,25
0,25

x  5 x  24
( x  3)( x  3)

0,25

0,5

x 8
x 3

0,25

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P , với P  A.B .
P  A.B 

2025

x 3
có x  3  3 ( x  0, x  9 )
1
1

x 3 3
2025 2025

 675
3
x 3

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (tm đk)
Vậy P lớn nhất bằng 675 khi x  0 .
1)

0,25

( x  3)( x  8) ( x  8)

( x  3)( x  3) ( x  3)

Vậy B 

3

0,25

( x  0, x  9)

a

B

0,5

60

a) Tập hợp các kết quả có thể xảy ra là   1; 2;3;...;11;12 .
 có 12 phần tử.
b) Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 3; 6; 9; 12
Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố A
4 1
- Xác suất của biến cố A là
 .
12 3
Cho hai biểu thức
A

c

Tổng

Gọi số áo len tổ I sản xuất theo kế hoạch là x (áo); số áo len tổ II sản
xuất theo kế hoạch là y (áo) (điều kiện x; y  *; x; y  140 )
Vì theo KH hai tổ sản xuất phải dệt 140 áo len nên ta có: x  y  140
Thực tế: số áo len tổ I sản xuất được là 1,1x (áo),

0,25

0,25

0,25

số áo len tổ II sản xuất được là 1, 05y (áo)
Vì thực tế hai tổ sản xuất được 150 áo len nên ta có: 1,1x  1, 05 y  150
 x  y  140
1,1x  1, 05 y  150

Ta có hệ phương trình 

0,5

 x  60  tm 
Giải hệ pt được 
 y  80  tm 

Vậy số áo len tổ I sản xuất theo kế hoạch là 60 áo; số áo len tổ II sản
xuất theo kế hoạch là 80 áo.
2)

0,25

Gọi vận tốc của ô tô là x  km / h  ( x  10 ). Suy ra vận tốc của xe máy là
0,25

x 10  km / h
Thời gian đi của ô tô là 2 h.
Sau 2 giờ quãng đường ô tô đi được là 2x  km
Sau 2,5 giờ quãng đường xe máy đi được là 2,5  x 10 km
Vì hai địa điểm A và B cách nhau 200 km nên tổng quãng đường đi
của ô tô và xe máy là 200 km, do đó ta có phương trình
2 x  2,5  x  10   200

0,5

Giải phương trình ta được x  50 (tm)
Vậy vận tốc của ô tô là 50 km / h, vận tốc của xe máy là 40 km / h.
3)

0,25

Giải phương trình 8  4 x  2  x  18  18  9 x
ĐKXĐ: x  2
8  4 x  2  x  18  18  9 x

0,25

2 2  x  2  x  18  3 2  x
6 2  x  18
2 x  3
2 x  9
x  7 (tm)

Thử lại thấy x = -7 thỏa mãn pt
Vậy pt có nghiệm x = -7.
4

1

a) Đổi 36 phút =

0,25

3
giờ
5
3
5

Vận tốc trung bình của máy bay là: 510 :  850 (km/h)
b) Gọi số đo góc AOB là n độ
2 Rn
510.360
510.360
Ta có:
 510  n 

 150
360
2 R
2.3,14.195

0,5

0,5

Vậy 
AOB  150
2

Vẽ hình đúng đến hết ý a

0,25
A

H

M

O

I
K

D
B

J

C

L

2a

Do MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên MA  OA, MB  OB

0,25

Tam giác MAO vuông tại A nên 3 điểm M, A, O thuộc đường tròn đường
0,25
kính MO
Tam giác MBO vuông tại B nên 3 điểm M, B, O thuộc đường tròn đường
0,25
kính MO
Suy ra 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.
2b

0,25

* Ta có: MA  MB ( MA, MB là hai tiếp tuyến của O 

OA  OB  R

Nên OM là trung trực của AB hay OM  AB tại H


Mà B thuộc đường tròn đường kính AC nên ABC  900 hay BC  AB

0,5

Suy ra: MO // BC
 
* IMD  BCD (2 góc so le trong)
 
  
Lại chứng minh đc: MBI  BCD nên IMD  IBM  BCD

Xét IMD và IBM có:

0,25


MIB
chung

  IBM

IMD

Nên: IMD ∽ IBM g.g 
Suy ra:

IM
ID

hay IM 2  IB.ID (đpcm).
IB
IM

0,5

2c

 
+ Chứng minh được AMDH là tứ giác nội tiếp nên IHD  MAD





Lại cm đc MAD  ABD nên IBH  IHD
Từ đó cm đc IHD  IBH , suy ra

IH
ID

 IH 2  IB.ID
IB
IH

Mà IM 2  IB.ID nên IM  IH

+ Gọi J là giao điểm của IL và BC
Xét MKI có IM / /CJ nên
Xét IKH có BJ / /IH nên
Suy ra: JC  JB

JC
KJ

IM
KI

JB
KJ

IH
KI

0,25

Hay J là trung điểm của BC
+ Xét ILH có CJ // HI nên

LC CJ CB


.
LH HI HM

 
Lại có MHL  BCL (đồng vị)

Suy ra MHL  BCL c.g.c 
 
Từ đó ta có: HLB  HLM .

Mà theo cách dựng thì hai điểm B, M cùng nằm về 1 phía đối với đt HL.
Suy ra 3 điểm M, B, L thẳng hàng (đpcm).

5

0,25

Gọi số lần giảm giá 10 000đ là x (lần, x > 0)
Khi đó :
Giá bán mới mỗi đôi giày là : 1 500 000 – 10 000x (đồng)
Số lượng giày bán ra mỗi tháng sau giảm là : 100 + 5x (đôi) (đk:
5 x  ,100  5 x  140) )
Lợi nhuận của mỗi đôi giày là :
1 500 000 – 10 000x – 1 100 000 = 400 000 – 10 000x (đồng)
Tổng lợi nhuận (không kể các chi phí cố định) là :
A = (400 000 – 10 000x).(100 + 5x) (đồng)
Có :
A  40 000 000  1000 000 x  50 000 x 2
A  50 000( x 2  20 x  800)
A  50 000( x  10) 2  45000 000

Ta có : ( x  10) 2  0 nên 50 000( x  10)2  0 suy ra A  45000 000
Dấu = xảy ra khi x = 10
Tuy nhiên do số lượng bán ra tối đa 140 đôi nên 100  5 x  140 nên x  8

0,25

Với 0  x  8 thì A lớn nhất khi 50 000( x  10) 2 lớn nhất hay ( x  10) 2 nhỏ
nhất. Suy ra x  8 .
Vậy cửa hàng nên giảm giá 80 000 đồng/đôi giày. Khi đó :
Giá bán mới là 1 420 000 đồng/đôi
Lợi nhuận lớn nhất là 44 800 000 đồng/tháng.
Lưu ý: - HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25.

0,25