UBND XÃ KRÔNG NÔ
TRƯỜNG THCS TÂN THÀNH
MÃ ĐỀ MT102

ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ 2
MÔN: TOÁN – LỚP 9
NĂM HỌC: 2025 - 2026
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao
đề)

A. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)
Viết chữ cái in hoa đứng trước phương án đúng duy nhất vào bảng trả lời
Câu 1. Đồ thị của hàm số
A. trục

.

có trục đối xứng là
B. đường thẳng

Câu 2. Cho hàm số

C. đường thẳng

.

D. trục

.

có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đó là

A.
B.
C.
D.
Câu 3. Phương trình bậc hai

có biệt thức

bằng

A. .
B.
.
C.
Câu 4. Phương trình nào sau đây có hai nghiệm trái dấu?

.

D.

.

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 5. Trục ngang của biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột xác định
A. tần số tương đối của nhóm số liệu.
B. đơn vị độ dài phù hợp với các tần số tương đối.
C. các nhóm số liệu cần biểu diễn.
D. tiêu đề cho biểu đồ.
Câu 6. Bảng thống kê sau cho biết số lượt mượn các loại sách trong một tuần tại thư viện của một trường
Trung học cơ sở như sau:
Loại sách

Sách giáo khoa

Sách tham khảo

Truyện ngắn

Tiểu thuyết

Số lượt
20
80
70
Từ bảng thống kê, tần số tương đối về số lượng sách giáo khoa được mượn là
A.
B.
.
C.
.
Câu 7. Thời gian hoàn thành một sản phẩm (tính bằng phút) của
một số công nhân trong một tổ được biểu diễn ở biểu đồ dưới
đây:
Thời gian hoàn thành một sản phẩm của công nhân chủ yếu là
A. 5 phút.
B. 17 phút.
C. 18 phút và 20 phút.
D. 20 phút và 22 phút.
Câu 8. Khi gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất, gọi
quả nào sau đây không thể xảy ra?
A.
.
B.
Câu 9. Khẳng định nào sau đây là sai?

C.

30
D.

.

là tổng số chấm trên hai con xúc xắc thì kết
D.

A. Góc nội tiếp của đường tròn là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của
đường tròn.
B. Trong một đường tròn, góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn.
C. Trong một đường tròn, các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
D. Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn cung nhỏ có số đo bằng số đo của góc ở tâm chắn cùng một
cung.
Câu 10. Tâm đường tròn nội tiếp của một tam giác là giao của các đường
A. trung trực.
B. phân giác trong.
C. phân giác ngoài.
D. đường cao.
Câu 11. Khi tứ giác
A.

.

Câu 12. Cho tam giác

nội tiếp đường tròn, và có
B.

.

C.

đều nội tiếp đường tròn

. Khi đó, góc
.

bằng
D.

.

Các phép quay giữ nguyên tam giác

là

A.
B.
C.
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai (2,0 điểm)
Chọn đúng (Đ) hoặc sai (S) cho mỗi ý a), b), c), d) rồi điền vào bảng trả lời.
Câu 13. Cho phương trình
với
a) Phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn.
b) Phương trình luôn có hai nghiệm

là tham số,

với mọi

c) Tổng và tích hai nghiệm của phương trình lần lượt là
d) Có một giá trị của

để phương trình có hai nghiệm

thoả mãn

Câu 14. Cho hình bên là một thúng gạo vun đầy. Thúng có dạng nửa hình cầu với đường kính

phần

gạo vun lên có dạng hình nón cao

Nhà Danh dùng lon sữa bò cũ có dạng hình trụ (bán kính đáy bằng

chiều cao

để đong gạo

mỗi ngày. Biết mỗi ngày nhà Danh ăn 5 lon gạo và mỗi lần đong thì lượng gạo chiếm
a) Thể tích hình cầu có bán kính đáy

, được tính bằng công thức:

b) Phần gạo nằm ngang mặt thúng trở xuống có dạng nửa hình cầu có bán kính
c) Thể tích phần gạo trong thúng là

thể tích lon.

.

d) Với lượng gạo ở thúng trên thì nhà Danh có thể ăn nhiều nhất là 15 ngày.
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm)
Hãy viết câu trả lời/ đáp án vào bảng trả lời mà không cần trình bày lời giải chi tiết.
Câu 15. Hai đội công nhân đắp đê ngăn triều cường. Nếu hai đội cùng làm thì trong 6 ngày xong việc. Nếu
làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 9 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì đội I đắp xong đê
trong bao nhiêu ngày?
Câu 16. Tập hợp A có 24 số chia hết cho 5 và một số số không chia hết cho 5. Bạn An chọn ngẫu nhiên một
số từ tập hợp A. Biết rằng xác suất của biến cố “Chọn được số không chia hết cho 5” là
có bao nhiêu phần tử?
Câu 17. Cho tứ giác nội tiếp

đường tròn

Tính số đo góc

. Hai đường thẳng

và

Hỏi tập hợp A

cắt nhau tại

Biết

(đơn vị độ).

Câu 18. Nón Huế là một hình nón có đường kính đáy bằng

độ dài

đường sinh là
. Người ta lát mặt xung quanh hình nón bằng ba lớp lá
khô. Tính diện tích lá cần dùng để tạo nên một chiếc nón Huế như vậy (kết
quả làm tròn đến hàng đơn vị với đơn vị
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Bài 1. (1,5 điểm)
1. Ghi lại cự li ném tạ (đơn vị: mét) của một vận động viên sau đợt tập huấn đặc biệt trong bảng sau:
20
20,5
20,64
20,35
20,65
20,4
20,67
20,8
20,7
20,45
20,72
20,5
20,85
20,2
21,1
20,9
a) Để thu gọn bảng dữ liệu trên thì nên chọn bảng tần số ghép nhóm hay tần số không ghép nhóm? Vì
sao?
b) Hãy lập bảng số liệu làm 6 nhóm trong đó nhóm đầu tiên cự li là từ 20 đến dưới 20,2 m. Lập bảng tần
số và tần số tương đối ghép nhóm.
2. Một hộp có

chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số

hai thẻ

khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của mỗi biến cố
“Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số nhỏ hơn
Bài 2. (1,5 điểm) Cho đường tròn
động trên cung lớn
cắt nhau tại

và

b) Kẻ đường kính
điểm của
c) Khi

và tính

và dây cung

cố định. Một điểm

có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao

cắt đường tròn

a) Chứng minh rằng tứ giác

”.

, bán kính

sao cho tam giác

tại

:

chuyển

của tam giác

khác

nội tiếp.

của đường tròn

và

vuông góc với

tại

. Chứng minh

biết

cố định, xác định vị trí của

trên đường tròn
-----HẾT-----

để

lớn nhất.

là trung

TRƯỜNG THCS TÂN THÀNH
Họ và tên:............................................
Lớp : ...................................................

Chữ ký Giám thị

KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2025 – 2026
Môn : Toán
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Điểm bài thi

Chữ ký Giám khảo

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM
1. Trắc nghiệm 4 lựa chọn (3 điểm) Điền chữ cái trước đáp án được chọn vào ô tương ứng
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Đáp
án
2. Trắc nghiệm đúng sai (2 điểm) Điền Đ (đúng) hoặc S (sai) vào ô tương ứng với ý trong câu hỏi
Câu
Câu 13
Câu 14
Ý
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Đ-S
3. Trả lời ngắn (2 điểm) Điền câu trả lời vào dấu (…)
Câu 15
Câu 16
B. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)

Câu 17

Câu 18

ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 102
KIỂM TRA CUỐI HỌC KÌ 2 – TOÁN 9 – KẾT NỐI TRI THỨC
A. TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Bảng đáp án trắc nghiệm:
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8
Đáp án
D
C
B
D
C
A
C
A
Câu
13a 13b 13c 13d 14a 14b 14c 14d
Đáp án
Đ
Đ
S
S
Đ
S
Đ
S
Hướng dẫn giải chi tiết
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)
Câu 1. Đồ thị của hàm số
A. trục

.

B. đường thẳng
D. trục

Đồ thị của hàm số

11
A
17
60

12
C
18
5656

.

.

có trục đối xứng là trục

Câu 2. Cho hàm số

có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đó là

A.

B.

C.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C

D.

Nhìn vào đồ thị, ta thấy đây là dạng đồ thị của hàm số
;

10
B
16
80

có trục đối xứng là

C. đường thẳng
.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D

Thay

9
D
15
9

vào

ta được

và khi

thì

Suy ra

Do đó trong hình vẽ trên biểu diễn hàm số
Câu 3. Phương trình bậc hai
A. .
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B

B.

có biệt thức
.

C.

bằng

.

D.

.

Ta có
Do đó
Câu 4. Phương trình nào sau đây có hai nghiệm trái dấu?
A.
.
B.
.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét tích
của mỗi phương trình, ta có:

C.

.

• Phương trình

có

.

• Phương trình

có

.

• Phương trình
Do đó, các phương trình

có

D.

.

.
;

;

có hai nghiệm cùng dấu.

• Phương trình

có

.

Do đó, phương trình
có hai nghiệm trái dấu.
Câu 5. Trục ngang của biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột xác định
A. tần số tương đối của nhóm số liệu.
B. đơn vị độ dài phù hợp với các tần số tương đối.
C. các nhóm số liệu cần biểu diễn.
D. tiêu đề cho biểu đồ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Trục ngang của biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột xác định các nhóm số liệu cần biểu diễn.
Do đó ta chọn phương án C.
Câu 6. Bảng thống kê sau cho biết số lượt mượn các loại sách trong một tuần tại thư viện của một trường
Trung học cơ sở như sau:
Loại sách

Sách giáo khoa

Sách tham khảo

Truyện ngắn

Tiểu thuyết

Số lượt

20

80

70

30

Từ bảng thống kê, tần số tương đối về số lượng sách giáo khoa được mượn là
A.
B.
.
C.
.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tần số tương đối về số lượng sách giáo khoa được mượn là:

D.

.

.
Do đó ta chọn phương án A.
Câu 7. Thời gian hoàn thành một sản phẩm (tính bằng phút) của một số công nhân trong một tổ được biểu
diễn ở biểu đồ dưới đây:
Thời gian hoàn thành một sản phẩm

Tần sốcủa một số công nhân trong một tổ
6
5

5

5
4

4
3

3

2
1
0
16 phút

18 phút

20 phút

22 phút Thời gian

Thời gian hoàn thành một sản phẩm của công nhân chủ yếu là
A. 5 phút.
B. 17 phút.
C. 18 phút và 20 phút.
D. 20 phút và 22 phút.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Quan sát biểu đồ, ta thấy thời gian hoàn thành một sản phẩm của công nhân chủ yếu là 18 phút (với 5 công
nhân) và 20 phút (với 5 công nhân).
Do đó ta chọn phương án C.

Câu 8. Khi gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất, gọi
quả nào sau đây không thể xảy ra?

là tổng số chấm trên hai con xúc xắc thì kết

A.
.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta thấy tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ nhất là 2 và lớn nhất là 12.
Do đó, tổng số chấm trên hai con xúc xắc thì
không thể xảy ra.
Câu 9. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Góc nội tiếp của đường tròn là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của
đường tròn.
B. Trong một đường tròn, góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của cung bị chắn.
C. Trong một đường tròn, các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
D. Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn cung nhỏ có số đo bằng số đo của góc ở tâm chắn cùng một
cung.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Phương án A, B, C đúng.
Phương án D sai. Sửa lại: Góc nội tiếp chắn cung nhỏ có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm chắn cùng một
cung.
Vậy ta chọn phương án D.
Câu 10. Tâm đường tròn nội tiếp của một tam giác là giao của các đường
A. trung trực.
B. phân giác trong.
C. phân giác ngoài.
D. đường cao.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Tâm đường tròn nội tiếp của một tam giác là giao của các đường phân giác trong của tam giác đó.
Câu 11. Khi tứ giác
A.
.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A

Tứ giác

B.
C.

B.

.

C.

nội tiếp đường tròn nên

Câu 12. Cho tam giác
A.

nội tiếp đường tròn, và có

đều nội tiếp đường tròn

. Khi đó, góc
.

hay

D.

bằng
.

.
Các phép quay giữ nguyên tam giác

là

D.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Các phép quay giữ nguyên tam giác
là:
Ba phép quay thuận chiều α° tâm O với α° lần lượt nhận các giá trị:

Vậy chọn đáp án C.
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai (2,0 điểm)
Câu 13. Cho phương trình
với
a) Phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn.
b) Phương trình luôn có hai nghiệm

là tham số,

với mọi

c) Tổng và tích hai nghiệm của phương trình lần lượt là
d) Có một giá trị của
để phương trình có hai nghiệm
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai.
d) Sai.
Xét phương trình

với

⦁ Phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn

thoả mãn

là tham số.
có

Do đó ý a) là đúng.

⦁ Phương trình có biệt thức
với mọi

nên phương trình luôn có nghiệm

Do đó ý b) là đúng.

⦁ Theo định lí Viète, ta có:

Do đó ý c) là sai.

⦁ Ta có

suy ra

Suy ra

nên

Phương trình này có tổng các hệ số

.
.
nên phương trình này có các nghiệm

.
Vậy có hai giá trị cần tìm của

là

. Do đó ý d) là sai.

Câu 14. Cho hình bên là một thúng gạo vun đầy. Thúng có dạng nửa hình cầu với đường kính
gạo vun lên có dạng hình nón cao

phần

Nhà Danh dùng lon sữa bò cũ có dạng hình trụ (bán kính đáy bằng

chiều cao

để đong gạo

mỗi ngày. Biết mỗi ngày nhà Danh ăn 5 lon gạo và mỗi lần đong thì lượng gạo chiếm
a) Thể tích hình cầu có bán kính đáy

thể tích lon.

, được tính bằng công thức:

b) Phần gạo nằm ngang mặt thúng trở xuống có dạng nửa hình cầu có bán kính

.

c) Thể tích phần gạo trong thúng là
d) Với lượng gạo ở thúng trên thì nhà Danh có thể ăn nhiều nhất là 15 ngày.
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai.
c) Đúng. d) Sai.
⦁ Thể tích hình cầu có bán kính đáy
Do đó ý a) là đúng.

, được tính bằng công thức:

⦁ Phần gạo nằm ngang mặt thúng trở xuống có dạng nửa hình cầu có bán kính
sai.

Do đó ý b) là

⦁ Phần gạo nằm ngang mặt thúng trở xuống có dạng nửa hình cầu có bán kính

có thể tích là

.
Phần gạo nằm trên miệng thúng có dạng hình nón có chiều cao
tích là

và bán kính đáy

.

Khi đó thể tích gạo trong thúng là
Do đó ý c) là đúng.
⦁ Thể tích lon là
Vì lượng gạo chiếm

.
.

thể tích lon nên thể tích gạo trong mỗi lần lấy là:

Khi đó mỗi ngày nhà Danh ăn hết số gạo có thể tích là:

Vậy với số gạo ở thúng trên thì nhà Danh ăn được số ngày là:
Do đó ý d) là sai.
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm)

(ngày).

có thể

Câu 15. Hai đội công nhân đắp đê ngăn triều cường. Nếu hai đội cùng làm thì trong 6 ngày xong việc. Nếu
làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 9 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì đội I đắp xong đê
trong bao nhiêu ngày?
Hướng dẫn giải
Đáp số: 9.
Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là

(ngày;

Khi đó, thời gian đội II làm một mình xong việc là
Trong một ngày, đội I làm được

(ngày)

(công việc); đội II làm được

(công việc).

Cả hai đội cùng làm thì trong 6 ngày xong việc nên trong một ngày cả hai đội cùng làm được

công việc

nên ta có phương trình

(loại do
) hoặc
(TMĐK).
Vậy nếu làm riêng đội I đắp đê xong trong 9 ngày.
Câu 16. Tập hợp A có 24 số chia hết cho 5 và một số số không chia hết cho 5. Bạn An chọn ngẫu nhiên một
số từ tập hợp A. Biết rằng xác suất của biến cố “Chọn được số không chia hết cho 5” là
có bao nhiêu phần tử?
Hướng dẫn giải
Đáp số: 80.
Gọi các số không chia hết cho 5 là

Hỏi tập hợp A

Theo bài ra ta có

Vậy tập hợp A có

(phần tử).

Câu 17. Cho tứ giác nội tiếp

đường tròn

Tính số đo góc

. Hai đường thẳng

(đơn vị độ).

Hướng dẫn giải
Đáp số: 60.
Vì tứ giác nội tiếp
đường tròn
nên
(tổng hai góc đối nhau của một tứ giác nội tiếp). Suy ra

và

cắt nhau tại

Biết

Tương tự, ta có

hay

Vì tổng các góc trong tam giác

nên

Câu 18. Nón Huế là một hình nón có đường kính đáy bằng
độ dài đường sinh là
. Người ta lát mặt xung quanh
hình nón bằng ba lớp lá khô. Tính diện tích lá cần dùng để tạo nên
một chiếc nón Huế như vậy (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị với
đơn vị
Hướng dẫn giải
Đáp số: 5656.
Chiếc nón Huế là một hình nón có đường kính đáy

nên độ dài bán kính đáy là:
.

Độ dài đường sinh

.

Diện tích xung quanh của hình nón này là:
.
Vì người ta lợp nón bằng 3 lớp lá, nên diện tích lá cần dùng để tạo nên một chiếc nón Huế sẽ là:
.
Vậy diện tích lá cần dùng để tạo nên một chiếc nón Huế khoảng
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Bài 1. (1,5 điểm)
1. Ghi lại cự li ném tạ (đơn vị: mét) của một vận động viên sau đợt tập huấn đặc biệt trong bảng sau:
20
20,5
20,64
20,35
20,65
20,4
20,67
20,8
20,7
20,45
20,72
20,5
20,85
20,2
21,1
20,9
a) Để thu gọn bảng dữ liệu trên thì nên chọn bảng tần số ghép nhóm hay tần số không ghép nhóm? Vì
sao?
b) Hãy lập bảng số liệu làm 6 nhóm trong đó nhóm đầu tiên cự li là từ 20 đến dưới 20,2 m. Lập bảng tần
số và tần số tương đối ghép nhóm.
2. Một hộp có

chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số

hai thẻ

khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của mỗi biến cố

:

“Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số nhỏ hơn
”.
Hướng dẫn giải
1. a) Để thu gọn bảng dữ liệu trên thì nên chọn bảng tần số ghép nhóm vì mấu số liệu trên có nhiều giá trị
khác nhau, nếu lập bảng tần số không ghép nhóm sẽ rất dài, phức tạp, khó tính toán.
b) Hãy chia số liệu làm 4 nhóm trong đó nhóm đầu tiên là
tương đối ghép nhóm (làm tròn đến hàng đơn vị).
Ta có bảng tần số ghép nhóm như sau:
Nhóm

đến dưới

; lập bảng tần số và tần số

Số học sinh
Tổng số học sinh trong lớp là
Tỉ lệ thời gian học sinh chạy

.
từ

đến dưới

là

;

từ

đến dưới

là

;

từ

đến dưới

là

;

từ

đến dưới

là:
.

Ta có bảng tần số tương đối ghép nhóm như sau:
Nhóm
Số học sinh
2. Ta thấy các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó là đồng khả năng.
Không gian mẫu của phép thử là:

.

Số phần tử của không gian mẫu là

phần tử.

Các kết quả thuận lợi của biến cố

“Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số nhỏ hơn

. Số kết quả thuận lợi của biến cố
Vậy
động trên cung lớn
cắt nhau tại

, bán kính

sao cho tam giác
và

b) Kẻ đường kính
điểm của

tại
và

vuông góc với

tại

trên đường tròn

để

vuông tại

.
có

Chứng ming tương tự, ta có

của tam giác

. Chứng minh

lớn nhất.

là trung điểm của cạnh
nên

chuyển

khác

biết

c) Khi
cố định, xác định vị trí của
Hướng dẫn giải

Xét

cố định. Một điểm

nội tiếp.

của đường tròn

và tính

và dây cung

có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao

cắt đường tròn

a) Chứng minh rằng tứ giác

Ta có

phần tử.

.

Bài 2. (1,5 điểm) Cho đường tròn

a) Gọi

là

” là:

là trung tuyến nên

.
.

là trung

Do đó

.

Vậy bốn điểm

cùng thuộc một đường tròn.

Vậy tứ giác

nội tiếp đường tròn.

b) Trong tam giác
Vì
Trong

có

là trực tâm tam giác

nên

có

.

nên

Xét đường tròn

nên

có

tại

và

nên

(đường kính vuông góc với dây).

)

(cùng phụ

)
.

Do đó
Suy ra

hay

Ta có

hay

nên

Áp dụng bất đẳng thức

, ta có:

Suy ra

Vậy

là trung điểm của

là hình bình hành.

có
(vì

Dấu

.

nên

à

c) Xét

.

là hai góc nội tiếp cùng chắn nửa đường tròn đường kính

Suy ra
M

là hai đường cao cắt nhau tại

không đổi vì
xảy ra khi

, khi đó

là điểm chính giữa cung lớn

, suy ra

.
.

cố định.
là điểm chính giữa cung lớn
thì giá trị lớn nhất của
-----HẾT-----

.
bằng

.